PHI y Cinco
Simetria de 5-lados (PHI)
La forma sencilla de derivar PHI es un simple pentagono.. Phi es la razon de diagonal a lado de un pentagono (de iguales lados y angulos).

    Aqui encontramos la primera peculiaridad de PHI. Dibuje dos diagonales de pentagono que se cruzen en O.     Cada diagonal es dividida en dos segmentos desiguales, que tienen razon mutua PHI.
    Cinco diagonales de pentagono  forman un Pentangulo: una estrella de 5 puntas. Dentro hay un pentagono mas pequeño, invertido. Cada diagonal es cruzada por otras dos diagonales. Cada segmento esta en proporcion PHI al todo.
    Phi es la razon de la simetria de 5-lados.     Este es el Pentaculo, simbolo de la antigua  Escuela Griega de Matematicas, fundada por Pitagoras---evidencia de que las antiguas Escuelas de Misterios conocian los usos de la Proporcion Divina para dar forma a nuestro mundo.

Extremo y Medio
Recursion
    Phi se encuentra tambien en otra mas antigua, obtusa y oscura relacion. Proporcion Extrema y Media revela mas sobre las unicas propiedades de PHI. En lenguaje simple, dice:
    Un unico punto P divide una linea AB de modo que como la linea entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al menor.

    Esta extraña, obscura razon tambien es igual a PHI. En un simple diagrama:      El valor de esto no es inmediatamente obvio, pero se clarifica cuando dividimos el segmento mayor por el segmento menor para poner un nuevo punto P' :     El viejo segmento AP es ahora el todo, PP' el nuevo segmento mayor, y AP' el nuevo menor. Todas las tres nuevas lineas estan en razon PHI.
    Repita esto para marcar el nuevo segmento AP' en el segmento mayor PP' para poner el nuevo punto P". La linea PP' se divide en razones PHI.     Dividiendo repetidamente el mas largo por el mas corto crea razones PHI a cada escala menor, sin importar cuantas veces el proceso de division se repita. PHI es un eco geometrico.
    Asi, como Proporcion Extrema y Media, PHI recurre (re-ocurre, recursividad) de nuevo y de nuevo cada vez que el menor divide al mayor. La recursividad es clave para diseñar formas estables y sistemas de flujo. PHI provee la recursion necesaria para la regeneracion---una razon de resonancia para gobernar el crecimiento.

Largo y Ancho
Regeneracion
    El valor de la recursion se vuelve mas claro en dos dimensiones. Haga un rectangulo con lados de proporciones PHI (1x1,618). Adentro haga un cuadrado (blanco). El rectangulo que queda tiene lados en proporcion PHI.

    Ahora haga un cuadrado en este rectangulo menor (sombreado). De nuevo, un nuevo rectangulo queda cuyos lados estan en proporcion PHI.     Si seguimos repitiendo, sin importar cuantas veces, ocurre lo mismo. Y cada vez en razon PHI.     Asi, en 2D "planolandia", vemos que PHI es un armonico natural---una razon unica capaz de regenerarse a si misma de nuevo y de nuevo en cada reducción en escala. Este efecto de eco crea formas geometricas estables.
    Phi es una letra griega, y los antiguos griegos adoptaron la Proporcion Divina como medida sagrada y proporcion estetica en arte y arquitectura. Los griegos buscaron guia divina en el oraculo de Del-PHI, cuyo simbolo fue una serpiente enrollada alrededor de un huevo. El Partenon de Atenas esta compuesto de muchos rectangulos PHI.
    En arte, PHI esta considerada como la proporcion mas estetica. Pero pocos artistas o arquitectos modernos usan la Proporcion Aurea en sus diseños.

Cuadrado y Circulo
Corporizacion
    PI define una danza geometrica de linea y circulo, mientras PHI describe union de cuadrado y circulo. Dicho en matematicas, esto es:
    Dado un cuadrado de perimetro conocido, crear un circulo de igual circunferencia.

    En Geometria Sagrada, cuadrado es mundo material---Cuatro direcciones del espacio; circulo es cerO---el Vacio---puerta al vacio---misterio original---puerta al espiritu.
    Nuestro simbolo para "Cinco" codifica este misterio meta-matematico de union mistica:
    Arriba es un cuadrado incompleto; abajo es un circulo parcial.     Cinco une espiritu con materia para capturar a la vida en forma fisica. En esencia, Cinco es corporizacion.
    En Anatomia humana, esto se ve en cuatro dedos con pulgar oponible. Un estudio cuidadoso de dimensiones humanas muestra muchas razones de PHI.

Matematica y Misticismo
El Numero Cinco Esta Vivo
    La Gran Piramide de Egipto encarna esta sabiduria de cuadrado y circulo. Su base es el cuadrado; su altura, el radio del circulo.

Cuatro y Cinco
Anidacion fractal
    Pero en la Naturaleza, la simetria de 5-lados de PHI es pentagono de 5-lados, no rectangulo de 4-lados. Las ideas de angulos rectos de nuestro modelo mental de 4-lados son desafiadas al pensar en figuras de 5-lados.
    En un Pentaculo, dibuje diagonales en el pentagono interior (invertido) para crear una nueva estrella invertida. Dentro hay un pentagono menor, apuntando hacia arriba.
    Pueden agregarse nuevas diagonales indefinidamente. Pentagonos y pentangulos recurren en escalas cada vez menores. Cada uno tiene razon PHI con respecto a su antecedente de mayor escala.

Sumar y Multiplicar
Standing Wave Form
    El anidamiento revela otra propiedad unica de PHI. En Extremo y Medio (extreme and mean), si un segmento largo tiene medida uno, la razon se convierte en:

Estas extraordinarias ecuaciones combinan suma a la izquierda del signo igual con multiplicacion a su derecha. Phi provee una interaccion unica entre suma y multiplicacion---un punto singular donde sumar es multiplicar, y donde restar es dividir.
    Pero nuestro mundo fisico es mas que materia. Tambien ondas de energia: sonido y electromagnetismo. Para una onda, no hay lineas, solo circulos.
    Cuando se unen ondas de distintas frecuencias, ellas se suman y se multiplican. PHI permite a las ondas interactuar en patrones armonicos, ordenados, como este:

La Tercera Dimension
Espacios Sagrados
    De todas formas, nosotros vivimos en una complejidad mayor mas alla de visiones 2D, de planos. En 3D no hay lineas, ni circulos, solo esferas. La Gran Piramide presenta solo una forma de resolver este dilema de ir de 2D a 3D.
    Dado que muchos de nostros no conocemos mucho sobre geometria 3D, repasemos lo basico. en 3D existen solo cinco formas regulares, con iguales lados, angulos y caras.
    En 2D, la forma mas simple es el triangulo. Las matematicas de 2D es la trigonometria, basada en las razones de los lados de triangulos rectos. El triangulo recto mas simple es un 3-4-5, que revela que:

    En 3D, la forma mas simple es el tetrahedro: tres triangulos alrededor de un punto (o vertice), con cuatro caras de tres lados y cuatro vertices. Esta, la forma mas simple en 3D, es la geometria de las uniones de electrones del carbono, el atomo "espina dorsal" de las moleculas organicas---hidrocarbonos, azucar, proteinas.
    El proximo en tamaño y complejidad en 3D es el octahedro: cuatro triangulos a un punto, con ocho caras y seis vertices. Una piramide es medio octahedro.     Centre un punto en cada cara de un octahedro, y conectelos. Esto forma nuestro familiar cubo, con tres caras cuadradas por vertice, seis caras y ocho vertices.
    El cubo es el complemento geometrico de un octahedro. Las caras de uno son los vertices de su complemento, de modo que las dos formas se transforman la una en la otra en intercambio alternativo.
    El tetrahedro es su propio complemento.
    El proximo paso en complejidad 3D es el icosahedro: cinco triangulos por vertice, con 12 vertices y 20 caras.     En nuestra cultura "cuadrada", esta forma es desconocida para la mayoria de la gente, y una figura sobrecogedora de contemplar.
    En Biologia, el icosahedro es la geometria de los virus---las formas de vida mas pequeñas y mas simples---una concha de cristal proteinico cercando una tira de ADN---una tira de memoria momificada.
    En arquitectura, los domos geodesicos de Buckminster Fuller derivan de esta forma.
    La quinta forma de geometria solida regular es el complemento del icosahedro: el dodecahedro, con tres caras de cinco lados por vertice, 12 caras y 20 vertices.

Cuatro en Cinco
En 3D
    Incluso en esta complejidad 3D, la "union del cuadrado y el circulo" todavia se aplica. dibuje diagonales en las caras de un dodecahedro, y un cubo aparece prolijamente anidado en su interior, en razon PHI al dodecahedro.

    Cinco cubos diferentes pueden ser dibujados dentro de un dodecahedro. Este nido de cubo-en-dodecahedro revela nuevamente las conexiones de PHI entre nuestro espacio "cuadrado" y las arquitecturas vivientes de 5-lados. El borde del cubo esta en razon PHI al lado de el pentagono.
    Icosa y dodeca de igual radio se anidan juntos para formar una forma estable, rigida, compuesta de triangulos entreemezclados. El Nobel 1996 de fisica fue or el descubrimiento de una tercera forma de carbono: C60, o "fullereno" (por Buckminster Fuller). el carbono forma capas (grafito) y cristales (diamantes). tambien forma grandes estructuras de bordes abiertos con 60 atomos en esta forma dodeca-icosa de 5-lados.
    Esta forma puede ser reflejada---o rotada 180 grados. Con el original, bordes de este dodeca-icosa encajan para formar un nido de circulos llenos. Esta es la Reja Universal de grandes circulos, de 120 triangulos, propuesta por Buckminster Fuller para mapear la superficie de una esfera.

En Biologia, esta es la simetria de las membranas de las celulas.
En Geologia, esta es el Enrejado de la Tierra. Las mayores cadenas montañosas de la Tierra, incluyendo las suboceanicas, fallas continentales, placas tectonicas, y otros elementos geofisicos se alinean con este enrejado global. Tambien lo hacen los lugares sagrados, las principales capitales y las principales rutas.

Darse vuelta de adentro hacia afuera
Anillo alrededor del centro  (N del T: juego de palabras, ring around holy, tanto alrededor del centro como de lo sagrado)
    Pero ahora, como Alicia en el pais de las maravillas, es tiempo de conocer al Conejo Blanco.
    Un icosahedro tiene 12 vertices. Sumemos un 13er punto en el centro para para voltear esta forma de adentro hacia afuera. el centro se vuelve periferia y el afuera se convierte en adentro.
    Esta operacion "imaginaria" es dificil de imaginar, dado que estamos anclados en 3D, pero crea una figura familiar:

El Agujero del Donut
Vesica y Ovario
    Corte una donut al medio mediante un plano AB de la siguiente forma:

    En vista de seccion cruzada desde el costado, esto aparece como dos circulos, cuyo radio R es la dimension interior del anillo. Estos circulos estan separados por D, diametro del agujero central del donut:     Ahora reduzca el diametro del agujero en el donut hasta que D = 0. Los bordes internos de los dos circulos apenas se tocan, y el agujero desaparece. El resultado es mas un swollen bagel que una donut. Una seccion cruzada se veria asi:     De todas formas, el donut puede continuar encogiendose hasta  que el diametro interno D pasa de cero y se vuelve negativo. Un unico y especial espacio es creado donde una vez estuvo el agujero del donut. Como un ejemplo, en el siguiente diagrama, D = -R.     Pocos de nosotros pueden imaginar un espacio de diametro negativo. Sin embargo, un curioso espacio es formado mediante esta superposicion del borde interno del anillo donut. Esta camara oval con puntas es espacio negativamente curvo doblado hacia adentro sobre si mismo.
    En Geometria sagrada, este espacio con forma de almendra es la Vesica, un cerramiento sagrado encontrado en circulos de piedras, catedrales, y gourd rattles. Es tambien llamado "El Ojo de Dios". Dentro de este lugar, el espacio y el tiempo estan alterados.
    En Biologia, esta geometria es una manzana. En vez de un agujero, una manzana tiene cinco ovarios en su centro---un espacio infolded donde el DNA se condensa y enrolla en semilla para alimentar y enseñar a la proxima generacion.
    Las plantas usan variaciones de esta geometria de PHI para crear ovarios, semillas y frutas.

La Cuarta dimension
El Ciclo de PHI whirled
    La cuarta dimension es el tiempo, la cual se genera dado que todos los cuerpos en 3D estan en movimiento, y el movimiento basico es la rotacion (spin). El mundo fisico consiste en pedacitos de materia  rotando sobre ejes y en orbitas. En el reino biologico, la materia viva crece en el tiempo en geometrias ordenadas, progresivas. La rotacion de la Tierra crea una Linea Internacional de Tiempo en el Oceano Pacifico-- la arruga en el tiempo de la Tierra.
    La sabiduria antigua china reconoce los movimientos perpetuos de crecimiento de la vida manifiestos como el Ciclo de PHI de la Naturaleza. Tras el unificador principio del Yin y Yang, la segunda ley de la Medicina Oriental es la de los cinco elementos. La danza universal de dualidades opuestas se convierte en un proceso de cinco pasos:

    Un ciclo Creativo (pentagono) define un orden positivo, mientras que un ciclo de Control (estrella) describe relaciones opuestas. Todos los fenomenos naturales y sus cualidades son clasificadas en este orden.
    En Biologia, las plantas toman la geometria del ciclo de PHI en la fotosintesis para trasformar luz solar en azucar. La clorofila invita a la luz a un ciclo de cinco pasos de separacion de agua. Cuatro fotones separan cuatro protones y cuatro electrones desde dos moleculas de agua.

    El fuego solar divide el agua terrestre para liberar electrones, moneda comun de la quimica. El cloroplasto es un vortex de espiral de PHI de enzimas, minerales y agua, donde rayos de luz se transforman en carga girante (electrones) corriendo en anillos de 5 y 6 carbonos (azucar), moneda corriente en biologia.

Sumas y Crecimiento
La espiral de PHI
    La Serie de Fibonacci es otro modo de derivar PHI, nombrada asi por el italiano renacentista que la redescubrio. En esta serie de numeros, cada numero es la suma de sus dos precedentes:

    Cualquier numero dividido por su numero precedente es una razon que se acerca y se acerca a PHI al ir creciendo los numeros. En notacion simbolica:

    Las matematicas de esta complejidad 4-D es el calculo, el cual analiza la tasa de cambio tomando fotos instantaneas en el tiempo---momentos congelados en el flujo de eventos.
    El proposito de esta Serie de Suma se hace obvio cuando visto como un diagrama geometrtrico:

De Vertices a Vortices
Ciclos de rotacion (spin cycles)
    El anillo donut continuamente se da vuelta de adentro a afuera. El darse vuelta no es un momento, o una operacion de una vez, sino una operacion continua---un moment-um. Como un anillo de humo girando en el espacio, el anillo donut esta en rotacion constante.
    Pero debido a que el espacio no esta aun desenvuelto, el anillo gira en un eje extra. Un donut tiene una dimension extra de rotacion agregada mas alla de las 3D (X,Y,Z). El anillo gira en tres ejes, pero tambien se enrrolla y curva hacia adentro sobre si mismo.
    El resultado es que un punto en la superficie del anillo se mueve en forma compleja. Un movimiento es rodear el circulo alrededor del agujero. Un segundo movimiento se enrolla hacia el centro del donut., ya que el anillo se curva sobre si mismo. El efecto combinado de los dos movimientos es:

    Este es un vortex en espiral---una forma universal de flujo. En nuestro mundo material, de cuatro esquinas, esto es una swastika de cuatro brazos. Pero la simetria basada en PHI crea una espiral con ratio PHI, de cinco lados, con posibilidades geometricas mas ricas.
    Este anillo girante crea un par de vortexes gemelos. Desde el tope, uno gira hacia el centro; el otro, en el extremo opuesto, abajo, gira hacia afuera.
    De modo que un anillo girante aparece como un vortex girando hacia afuera desde su centro. Su rotacion es opuesta al  vortex hacia adentro, el del tope---un par semejantes en movimiento horario y antihorario.     Al convertirse el interior en exterior, las 12 caras dodeca se convierten en 12 fases del anillo girante. Y 12 vertexes de icosahedro se convierten en 12 vortexes de anillo de donut.

Yendo y Viniendo
Ovarios y Uteros
    Asi que un anillo girante tiene dos vortexes gemelos, uno que entra desde el tope y uno que sale desde el fondo. Uno tira hacia el centro, otro expele hacia la periferia. Estas dos geometrias son un patron universal de flujo.
    Si las juntamos lado a lado, ellas forman un patron remarcable y familiar:

Cielo y Tierra
Whorl de espiral de PHI
    Cuando estas espirales gemelas son superpuestas una sobre la otra, la imagen resultante es una doble espiral PHI.

Serpiente y Aguila
Caduceus
    En el antiguo Mediterraneo, estas imagenes geometricas abstractas fueron expresadas en una imagen organica, de mayor orden: el Caduceo de Thot, el fundador de las antiguas Escuelas de Misterios de Egipto (a quien los griegos renombraron como Hermes).

Cielo y Tierra
El Arbol de la Paz
    En el Nuevo Mundo estas geometrias hallan expresion en otra forma organica. el Arbol de la Paz. Cinco agujas , unieron cinco naciones en los Finger Lakes.
    Cielo, Tierra, y Subterraneo (raices). Animal, vegetal, mineral, los tres reinos de la vida en la Tierra.
    Arbol de Pino y glandula Pineal. Espina (spine) = "S" (la letra de la serpiente) + pine (pino).